世界上最完美的公式----歐拉公式  

 

歐拉公式

 

 

 

  在數學歷史上有很多公式都是歐拉(leonhard euler 公元1707-1783年)發現的,它們都叫做

 

  歐拉公式,它們分散在各個數學分支之中。

 

  (1)分式裡的歐拉公式:

 

  a^r/(ab)(ac)+b^r/(bc)(ba)+c^r/(ca)(cb)

 

  當r=0,1時式子的值為0 當r=2時值為1

 

  當r=3時值為a+b+c

 

  (2)複變函數論裡的歐拉公式:

 

  e^ix=cosx+isinx,e是自然對數的底,i是虛數單位。它將三角函數的定義域擴大到復數,建立了三角函數和指數函數的關係,它在復變函數論裡佔有非常重要的地位.

 

  將公式裡的x換成-x,得到:

 

  e^-ix=cosx-isinx,然後採用兩式相加減的方法得到:

 

sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到:

 

  e^i∏+1=0. 這個恆等式也叫做歐拉公式,它是數學裡最令人著迷的一個公式,它將數學裡最重要的幾個數學聯繫到了一起:兩個超數:自然對數的底e,圓周率∏,兩個單位:虛數單位i和自然數的單位1,以及數學裡常見的0。數學家們評價它是“上帝創造的公式”,我們只能看它而不能理解它。

 

雖然不敢肯定她是世界上“最偉大公式",但是可以肯定她是最完美的數學公式之一。

 

  

 

   理由如下:

 

  

 

  

 

   1。自然界的 e 含於其中。

 

   自然對數的底,大到飛船的速度,小至蝸牛的螺線,誰能夠離開它?

 

  

 

  

 

   2。最重要的常數 π 含於其中。

 

   世界上最完美的平面對稱圖形是圓。“最偉大的公式”能夠離開圓周率嗎?

 

   (還有π 和e是兩個最重要的無理數!)

 

  

 

   3。最重要的運算符號 + 含於其中。

 

   之所以說加號是最重要的符號,是因為其餘符號都是由加號派生而來。減號是加法的逆逆運算,乘法是累計的加法……

 

  

 

  

 

   4。最重要的關係符號 = 含於其中。

 

   從你一開始學算術,最先遇見它,相信你也會同意這句話。

 

  

 

  

 

   5。最重要的兩個元在裡面。

 

   零元0 ,單位元1 ,是構造群,環,域的基本元素。如果你看了有關《近世代數》的書,你就會體會到它的重要性。

 

  

 

   6。最重要的虛單位 i 也在其中。

 

   虛單位i 使數軸上的問題擴展到了平面,而在哈密爾的4 元數與凱萊的8 元數中也離開不了它。

 

  

 

  

 

   之所以說她美,是因為這個公式的精簡。她沒有多餘的字符,卻聯繫著幾乎所有的數學知識。

 

  

 

   有了加號,可以得到其餘運算符號;

 

   有了0,1,就可以得到其他的數字;

 

   有了π 就有了圓函數,也就是三角函數;

 

   有了i 就有了虛數,平面向量與其對應,也就有了哈密爾的4 元數,現實的空間與其對應;

 

   有了e 就有了微積分,就有了和工業革命時期相適宜的數學。

 

  (3)三角形中的歐拉公式:

 

  設r為三角形外接圓半徑,r為內切圓半徑,d為外心到內心的距離,則: d^2=r^2-2rr

 

  (4)拓撲學裡的歐拉公式:

 

  v+fe=x(p),v是多面體p的頂點個數,f是多面體p的面數,e是多面體p的棱的條數,x(p)是多面體p的歐拉示性數。

 

  如果p可以同胚於一個球面(可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個球面上),那麼x(p)=2,如果p同胚於一個接有h個環柄的球面,那麼x (p)=2-2h。

 

  x(p)叫做p的歐拉示性數,是拓撲不變量,就是無論再怎麼經過拓撲變形也不會改變的量,是拓撲學研究的範圍。

 

  在多面體中的運用:

 

  簡單多面體的頂點數v、面數f及棱數e間有關係

 

  

 

 v+fe=2

 

  這個公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數、面數、棱數特有的規律。

 

  (5)初等數論裡的歐拉公式:

 

  歐拉φ函數:φ(n)是所有小於n的正整數里,和n互素的整數的個數。n是一個正整數。

 

  歐拉證明了下面這個式子:

 

  如果n的標準素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am,其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數,而且兩兩不等。則有

 

  φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)

 

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