科學月刊【數‧生活與學習】專欄 96 年 9 月

博士熱愛的算式

    《博士熱愛的算式》是日本女作家小川洋子的一部小說, 中文版由專業的日文譯者王蘊潔小姐擔綱,屬於麥田出版社的文學部屋系列。 『博士』指的是一名因為意外提早退休的數學教授, 他熱愛的算式,就是上個月專欄中介紹給大家的,所謂數學中最美的等式:

 

\begin{displaymath}
e^{i\pi}+1=0
\end{displaymath}

    『美』是一個無法用其他文字定義的文字: 妳不妨拿一本辭典查詢『美』的字義,那份解釋裡面一定會有跟『美』等價的字詞, 如果妳追查下去,最後就會查回『美』這個字。 在辭典中產生這種循環解釋的字詞時,就顯示它是一種本質的元素, 需要哲學家或語言學家嚴肅地處理。 如果語言學要像數學一樣,指定幾個少數的公設或設準, 把它們當作基礎而不再解釋 (例如幾何學中的『點』和『線』), 將整個學科嚴謹建立在那少數不能解釋的公設之上, 則『美』肯定應該是被指定為公設的候選詞之一; 另一個可能被指定為公設的詞是『意義』。

    所以,其實『美』是沒有定義,因此也沒有客觀標準的。 要說哪條等式是數學中最美的,當然要冒著被反對的風險; 就好像要指定哪個人最美也很危險一樣, 今年 (2007) 的香港小姐恰好為我們提供一個有趣的例子。 但是我卻可以相當大膽地告訴讀者,那條等式是獲得數學家長期共識的最美等式。 反對的聲音當然會有,不過還不值得圈外人注意。 這是個很有趣的現象,在數學這樣絕對客觀的行業裡, 卻形成了幾乎一致的主觀概念。 我做過好幾次非正式的實驗 (這些實驗當然不能寫成數學論文,但是心理學者或教育學者卻可以參考), 只要你列出幾種等價的數學敘述,譬如同一道題目的七種不同解法, 或者指稱同一個概念的四種等價描述, 拿去請教受過專業數學訓練的人,讓他們挑出一個他們認為最『美』的, 你會驚訝地發現,他們挑出同一個。

    即使對一個專業素養尚未完成的大學生,要他舉一個偶函數的例子, 九成會舉出 $y=x^2$, 但是當我問他們為甚麼不說 $y=0$? 幾乎每一個人都能夠會心地笑出來。 數學所認為的美,總是以「簡單」作為最基本的前提,而以「深刻」作為最終的評斷。 最美的等式當然要既簡單又深刻,而且還可以在某種程度上「雅俗共賞」: 它位於數學的核心主軸,而不在一個專門化的分枝裡。 這條等式之所以獲得「最美」的共識,我個人的解釋是, 數學中最重要的五個常數: $1$, $0$, $\pi$, $i$ 和 $e$, 最基本的三個計算:加法、乘法和次方, 最核心的一個觀念:等於, 通過近代數學中最基礎最深刻的概念:微積分, 用再簡單不過的方式寫在一起。 比它簡單的沒它深刻,比它深刻的沒它簡單,所以它最美。

    但是小說家卻能用另一種方式闡述它的美。 觀察小川洋子的背景,她跟我同一個時代 (同年同月出生), 受的是完整的文學教育,可能自從高中畢業就不曾正式學習數學。 但是,可能日本的中學教育和我國一樣嚴謹, 所以她寫在小說情節裡的數學,明顯深過前陣子我們讀過的歐美作者。 相較之下,那些西方作者在小說裡只有觸及數學的想像而已, 但小川洋子寫了真實的數學; 即使如此,《博士熱愛的算式》還是一本後來改編成電影的暢銷小說,而不是數學科普。 相對來說,我的目標和小川不同,我要寫一份科普讀物, 讓讀者真的懂得為什麼這個等式會「最美」? 但是,我想要推薦對於跟著科月讀到這裡的讀者, 帶著科普的知識,轉去閱讀小川的那部故事書,一定會有相得益彰的快樂。

    閱讀這部小說是一個美好的經驗。 跟西方小說在風格或氛圍上不同的是,這個小小的故事沒有強烈的或激動的情節, 不講究複雜而翔實的歷史或地理或科學的背景, 或許是一種日本風味吧,寬鬆的排版讓人輕鬆閱讀, 故事不太長讓人可以一氣呵成地讀完而不至於疲倦或忘記細節, 故事也不太短讓人能夠深入情節和氣氛而獲得心靈上的共鳴。 小說裡「真實的」數學就一定需要真正的數學知識才能欣賞嗎? 絕對不是的。日本的廣大讀者能夠受感動,台灣的讀者一定也可以。 書中第一人稱的敘事者,是一位三十出頭、年輕時曾經輕狂而輟學的單親媽媽, 因為沒有完成學業而只能以管家為業,獨立撫養兒子長大。 讀這本書所需要的數學知識, 就像這位管家一樣,只要高職肄業即可, 外加一顆清醒的頭腦和一副還沒死絕的好奇心。

    博士是一位數學教授,47 歲的時候發生一場車禍, 之後就罹患這種奇怪的腦神經損傷: 車禍以前的記憶都留著(所以他的數學知識都保存了下來), 邏輯推理能力也都正常, 但是車禍以後,他只有八十分鐘的記憶。 他跟管家(和所有人)的關係,都得靠著隨身攜帶的小紙片以及邏輯推理來維持。 想像這樣的情況:根據記錄,眼前這個陌生的小孩,我應該已經認識他一年半了, 我們幾乎每天一起吃晚餐,我看他的功課,教他數學, 我愛他如自己的兒子。今天是他的生日,今天應該送來一塊生日蛋糕, 我買了一副棒球手套給他當作生日禮物,放在樓梯下面右邊的櫃子裡, 我們曾經一起看棒球。 他必須靠這種文字記錄,去愛一個其實他並不認識的小男孩。 他身旁的人在自己的心裡累積了跟他親近生活了十八個月的關心和愛, 但是每天早晨,他都是第一次跟自己見面。 這需要,雙方,多麼地努力,有多少耐心與愛的支持, 才能維持這樣的友情或愛情? 其實,每次八十分鐘的互動,有沒有可能發展出愛情?

    博士不記得發生了什麼事,但是憑觀察和邏輯他知道發生了感情方面的糾紛。 他想必記得他和嫂子之間的過去(在車禍發生之前), 他們可能曾經約定過一種「最後通牒」, 在雙方最為堅持不下的時候, 他如果決定拿出那個代表了純潔、代表了愛、代表了信任的這條等式, 就表示他的決心,也代表請她原諒或請她接納。

    這條等式的意義超過了女管家的能力範圍(除非她跟著《科學月刊》讀了十個月的專欄), 但是她的人性與本能彌補了知識的不足,越過數學的知識而直接跟隨博士愛上了這條等式。 這是全書的高潮(對我這個數學老師來說啦), 我不禁佩服這位和我同齡的日本女作家,是怎麼樣的數學素養和文學修為, 讓她對一條數學等式寫出如此溫情的描述? 我要引述這位日本小說家的一段文字,作為這十一個月來發展『最美等式』的結語。

(故事裡的女管家拿著寫了這條等式的小紙片,到圖書館去找尋線索。pp.167--8) 

    沈重的書本讓我的手麻痺了,我甩了甩手, 重新翻開書本,腦海裡想著這位十八世紀最偉大的數學家,雷奧哈德爾‧歐拉。 我雖然對他一無所知,但手拿這個公式,我覺得自己可以感受到他的體溫。 歐拉用了這個極不自然的概念,編織出一個公式。 他從這些看似毫無關係的數字中,發現了彼此之間自然的關聯。 

    $e$ 的 $\pi$ 和 $i$ 之積的次方再加上 $1$ 就變成了 $0$。 

    我重新看著博士的紙條。永無止境地循環下去的數字, 和讓人難以捉摸的虛數畫出簡潔的軌跡, 在某一點落地。雖然沒有圓的出現,但來自宇宙的 $\pi$ 飄然地來到 $e$ 的身旁,和害羞的 $i$ 握著手。 他們的身體緊緊地靠在一起,屏住呼吸,但有人加了一以後, 世界就毫無預警地發生了巨大的變化。一卻都歸於零。 

    歐拉公式就像是暗夜中閃現的一道流星;也像是刻在漆黑的洞窟裡的一行詩句。 我被這個公式的美深深地打動了,再度將紙條放進票夾。 

    走下圖書館的樓梯時,我回頭看了一下,數學書籍區仍然沒有一個人影, 一片寂靜,沒有人知道那裡隱藏著多麼美的事物。

 

http://libai.math.ncu.edu.tw/~shann/Lite/essay/9609.html

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